算法的乐趣

第1章 程序员与算法　　1
1.1 什么是算法　　2
1.2 程序员必须要会算法吗　　2
1.2.1 一个队列引发的惨案　　3
1.2.2 我的第一个算法　　5
1.3 算法的乐趣在哪里　　7
1.4 算法与代码　　8
1.5 总结　　9
1.6 参考资料　　9
第2章 算法设计的基础　　10
2.1 程序的基本结构　　10
2.1.1 顺序执行　　10
2.1.2 循环结构　　11
2.1.3 分支和跳转结构　　13
2.2 算法实现与数据结构　　16
2.2.1 基本数据结构在算法设计中的应用　　16
2.2.2 复杂数据结构在算法设计中的应用　　19
2.3 数据结构和数学模型与算法的关系　　24
2.4 总结　　25
2.5 参考资料　　25
第3章 算法设计的常用思想　　26
3.1 贪婪法　　26
3.1.1 贪婪法的基本思想　　27
3.1.2 贪婪法的例子：0-1 背包问题　　27
3.2 分治法　　30
3.2.1 分治法的基本思想　　30
3.2.2 递归和分治，一对好朋友　　31
3.2.3 分治法的例子：大整数Karatsuba 乘法算法　　32
3.3 动态规划　　34
3.3.1 动态规划的基本思想　　34
3.3.2 动态规划法的例子：字符串的编辑距离　　37
3.4 解空间的穷举搜索　　40
3.4.1 解空间的定义　　41
3.4.2 穷举解空间的策略　　42
3.4.3 穷举搜索的例子：Google 方程式　　44
3.5 总结　　46
3.6 参考资料　　46
第4章 阿拉伯数字与中文数字　　47
4.1 中文数字的特点　　47
4.1.1 中文数字的权位和小节　　48
4.1.2 中文数字的零　　48
4.2 阿拉伯数字转中文数字　　49
4.2.1 一个转换示例　　49
4.2.2 转换算法设计　　49
4.2.3 算法实现　　50
4.2.4 中文大写数字　　51
4.3 中文数字转阿拉伯数字　　52
4.3.1 转换的基本方法　　52
4.3.2 算法实现　　52
4.4 数字转换的测试用例　　54
4.5 总结　　55
4.6 参考资料　　55
第5章 三个水桶等分8 升水的问题　　56
5.1 问题与求解思路　　57
5.2 建立数学模型　　58
5.2.1 状态的数学模型与状态树　　58
5.2.2 倒水动作的数学模型　　59
5.3 搜索算法　　60
5.3.1 状态树的遍历　　60
5.3.2 剪枝和重复状态判断　　61
5.4 算法实现　　62
5.5 总结　　64
5.6 参考资料　　64
第6章 妖怪与和尚过河问题　　65
6.1 问题与求解思路　　66
6.2 建立数学模型　　66
6.2.1 状态的数学模型与状态树　　67
6.2.2 过河动作的数学模型　　67
6.3 搜索算法　　69
6.3.1 状态树的遍历　　70
6.3.2 剪枝和重复状态判断　　70
6.4 算法实现　　71
6.5 总结　　72
6.6 参考资料　　73
第7章 稳定匹配与舞伴问题　　 74
7.1 稳定匹配问题　　74
7.1.1 什么是稳定匹配　　74
7.1.2 Gale-Shapley 算法原理　　75
7.2 Gale-Shapley 算法的应用实例　　77
7.2.1 算法实现　　77
7.2.2 改进优化：空间换时间　　80
7.3 有多少稳定匹配　　81
7.3.1 穷举所有的完美匹配　　 81
7.3.2 不稳定因素的判断算法　　 82
7.3.3 穷举的结果　　 84
7.4 二部图与二分匹配　　 84
7.4.1 最大匹配与匈牙利算法　　 85
7.4.2 带权匹配与Kuhn-Munkres算法　　 88
7.5 总结　　 93
7.6 参考资料　　 94
第8章 爱因斯坦的思考题　　 95
8.1 问题的答案　　 96
8.2 分析问题的数学模型　　 96
8.2.1 基本模型定义　　 96
8.2.2 线索模型定义　　 98
8.3 算法设计　　 99
8.3.1 穷举所有的组合结果　　 99
8.3.2 利用线索判定结果的正确性　　 101
8.4 总结　　 103
8.5 参考资料　　 104
第9章 项目管理与图的拓扑排序　　 105
9.1 AOV 网和AOE 网　　 107
9.2 拓扑排序　　 108
9.2.1 拓扑排序的基本过程　　 108
9.2.2 按照活动开始时间排序　　 108
9.3 关键路径算法　　 111
9.3.1 什么是关键路径　　 112
9.3.2 计算关键路径的算法　　 113
9.4 总结　　 116
9.5 参考资料　　 116
第10章 RLE 压缩算法与PCX 图像文件格式　　 117
10.1 RLE 压缩算法　　 117
10.1.1 连续重复数据的处理　　 117
10.1.2 连续非重复数据的处理　　 118
10.1.3 算法实现　　118
10.2 RLE 与PCX 图像文件格式　　121
10.2.1 PCX 图像文件格式　　121
10.2.2 PCX_RLE 算法　　122
10.2.3 256 色PCX 文件的解码和显示　　123
10.3 总结　　124
10.4 参考资料　　125
第11章 算法与历法　　126
11.1 格里历（公历）生成算法　　126
11.1.1 格里历的历法规则　　126
11.1.2 今天星期几　　127
11.1.3 生成日历的算法　　131
11.1.4 日历变更那点事儿　　132
11.2 二十四节气的天文学计算　　134
11.2.1 二十四节气的起源　　134
11.2.2 二十四节气的天文学定义　　135
11.2.3 VSOP-82/87 行星理论　　137
11.2.4 误差修正——章动　　141
11.2.5 误差修正——光行差　　143
11.2.6 用牛顿迭代法计算二十四节气　　144
11.3 农历朔日（新月）的天文学计算　　146
11.3.1 日月合朔的天文学定义　　147
11.3.2 ELP-2000/82 月球理论　　147
11.3.3 误差修正——地球轨道离心率修正　　149
11.3.4 误差修正——黄经摄动　　149
11.3.5 月球地心视黄经和最后的修正——地球章动　　150
11.3.6 用牛顿迭代法计算日月合朔　　151
11.4 农历的生成算法　　152
11.4.1 中国农历的起源与历法规则　　153
11.4.2 中国农历的推算　　157
11.4.3 一个简单的“年历” 　　165
11.5 总结　　166
11.6 参考资料　　167
第12章 实验数据与曲线拟合　　168
12.1 曲线拟合　　168
12.1.1 曲线拟合的定义　　168
12.1.2 简单线性数据拟合的例子　　168
12.2 最小二乘法曲线拟合　　169
12.2.1 最小二乘法原理　　170
12.2.2 高斯消元法求解方程组　　171
12.2.3 最小二乘法解决“速度与加速度”实验　　172
12.3 三次样条曲线拟合　　173
12.3.1 插值函数　　174
12.3.2 样条函数的定义　　174
12.3.3 边界条件　　175
12.3.4 推导三次样条函数　　176
12.3.5 追赶法求解方程组　　179
12.3.6 三次样条曲线拟合算法实现　　181
12.3.7 三次样条曲线拟合的效果　　183
12.4 总结　　184
12.5 参考资料　　184
第13章 非线性方程与牛顿迭代法　　185
13.1 非线性方程求解的常用方法　　185
13.1.1 公式法　　185
13.1.2 二分逼近法　　186
13.2 牛顿迭代法的数学原理　　187
13.3 用牛顿迭代法求解非线性方程的实例　　188
13.3.1 导函数的求解与近似公式　　188
13.3.2 算法实现　　188
13.4 参考资料　　189
第14章 计算几何与计算机图形学　　190
14.1 计算几何的基本算法　　190
14.1.1 点与矩形的关系　　190
14.1.2 点与圆的关系　　191
14.1.3 矢量的基础知识　　191
14.1.4 点与直线的关系　　194
14.1.5 直线与直线的关系　　194
14.1.6 点与多边形的关系　　196
14.2 直线生成算法　　199
14.2.1 什么是光栅图形扫描转换　　200
14.2.2 数值微分法　　200
14.2.3 Bresenham 算法　　202
14.2.4 对称直线生成算法　　204
14.2.5 两步算法　　205
14.2.6 其他直线生成算法　　207
14.3 圆生成算法　　207
14.3.1 圆的八分对称性　　208
14.3.2 中点画圆法　　209
14.3.3 改进的中点画圆法——Bresenham 算法　　210
14.3.4 正负判定画圆法　　211
14.4 椭圆生成算法　　212
14.4.1 中点画椭圆法　　213
14.4.2 Bresenham 椭圆算法　　215
14.5 多边形区域填充算法　　217
14.5.1 种子填充算法　　218
14.5.2 扫描线填充算法　　223
14.5.3 改进的扫描线填充算法　　229
14.5.4 边界标志填充算法　　233
14.6 总结　　236
14.7 参考资料　　236
第15章 音频频谱和均衡器与傅里叶变换算法　　237
15.1 实时频谱显示的原理　　237
15.2 离散傅里叶变换　　238
15.2.1 什么是傅里叶变换　　239
15.2.2 傅里叶变换原理　　 239
15.2.3 快速傅里叶变换算法的实现　　 243
15.3 傅里叶变换与音频播放的实时频谱显示　　 245
15.3.1 频域数值的特点分析　　 245
15.3.2 从音频数据到功率频谱　　 246
15.3.3 音频播放时实时频谱显示的例子　　 248
15.4 破解电话号码的小把戏　　 251
15.4.1 拨号音的频谱分析　　 251
15.4.2 根据频谱数据反推电话号码　　 252
15.5 离散傅里叶逆变换　　 253
15.5.1 快速傅里叶逆变换的推导　　 254
15.5.2 快速傅里叶逆变换的算法实现　　 254
15.6 利用傅里叶变换实现频域均衡器　　 255
15.6.1 频域均衡器的实现原理　　 255
15.6.2 频域信号的增益与衰减　　 256
15.6.3 均衡器的实现——仿Foobar的18 段均衡器　　 258
15.7 总结　　 259
15.8 参考资料　　 259
第16章 全局最优解与遗传算法　　 260
16.1 遗传算法的原理　　 260
16.1.1 遗传算法的基本概念　　 261
16.1.2 遗传算法的处理流程　　 262
16.2 遗传算法求解0-1 背包问题　　 267
16.2.1 基因编码和种群初始化　　 267
16.2.2 适应度函数　　 268
16.2.3 选择算子设计与轮盘赌算法　　 268
16.2.4 交叉算子设计　　 270
16.2.5 变异算子设计　　 271
16.2.6 这就是遗传算法　　 272
16.3 总结　　272
16.4 参考资料　　273
第17章 计算器程序与大整数计算　　274
17.1 哦，溢出了，出洋相的计算器程序　　274
17.2 大整数计算的原理　　275
17.2.1 大整数加法　　276
17.2.2 大整数减法　　278
17.2.3 大整数乘法　　279
17.2.4 大整数除法与模　　281
17.2.5 大整数乘方运算　　282
17.3 大整数类的使用　　283
17.3.1 与Windows的计算器程序一决高下　　283
17.3.2 最大公约数和最小公倍数　　284
17.3.3 用扩展欧几里得算法求模的逆元　　286
17.4 总结　　288
17.5 参考资料　　288
第18章 RSA 算法——加密与签名　　289
18.1 RSA 算法的开胃菜　　289
18.1.1 将模幂运算转化为模乘运算　　290
18.1.2 模乘运算与蒙哥马利算法　　291
18.1.3 模幂算法　　292
18.1.4 素数检验与米勒—拉宾算法　　292
18.2 RSA 算法原理　　295
18.2.1 RSA 算法的数学理论　　295
18.2.2 加密和解密算法　　296
18.2.3 RSA 算法的安全性　　297
18.3 数据块分组加密　　297
18.3.1 字节流与大整数的转换　　298
18.3.2 PCKS 与OAEP 加密填充模式　　298
18.3.3 数据加密算法实现　　300
18.3.4 数据解密算法实现　　301
18.4 RSA 签名与身份验证　　302
18.4.1 RSASSA-PKCS 与RSASSAPSS签名填充模式　　302
18.4.2 签名算法实现　　304
18.4.3 验证签名算法实现　　305
18.5 总结　　305
18.6 参考资料　　306
第19章 数独游戏　　307
19.1 数独游戏的规则与技巧　　307
19.1.1 数独游戏的规则　　307
19.1.2 数独游戏的常用技巧　　308
19.2 计算机求解数独问题　　308
19.2.1 建立问题的数学模型　　310
19.2.2 算法实现　　311
19.2.3 与传统穷举方法的结果对比　　312
19.3 关于数独的趣味话题　　312
19.3.1 数独游戏有多少终盘　　313
19.3.2 史上最难的数独游戏　　314
19.4 总结　　314
19.5 参考资料　　315
第20章 华容道游戏　　316
20.1 华容道游戏介绍　　316
20.2 自动求解的算法原理　　317
20.2.1 定义棋盘的局面　　317
20.2.2 算法思路　　319
20.3 自动求解的算法实现　　320
20.3.1 棋局状态与Zobrist 哈希算法　　321
20.3.2 重复棋局和左右镜像的处理　　323
20.3.3 正确结果的判断条件　　325
20.3.4 武将棋子的移动　　325
20.3.5 棋局的搜索算法　　328
20.4 总结　　329
20.5 参考资料　　329
第21章 A*寻径算法　　330
21.1 寻径算法演示程序　　330
21.2 Dijkstra 算法　　331
21.2.1 Dijkstra 算法原理　　332
21.2.2 Dijkstra 算法实现　　332
21.2.3 Dijkstra 算法演示程序　　333
21.3 带启发的搜索算法——A*算法　　335
21.3.1 A*算法原理　　336
21.3.2 常用的距离评估函数　　337
21.3.3 A*算法实现　　340
21.4 总结　　342
21.5 参考资料　　342
第22章 俄罗斯方块游戏　　343
22.1 俄罗斯方块游戏规则　　343
22.2 俄罗斯方块游戏人工智能的算法原理　　344
22.2.1 影响评价结果的因素　　345
22.2.2 常用的俄罗斯方块游戏人工智能算法　　346
22.2.3 Pierre Dellacherie 评估算法　　347
22.3 Pierre Dellacherie 算法实现　　349
22.3.1 基本数学模型和数据结构定义　　350
22.3.2 算法实现　　352
22.4 总结　　358
22.5 参考资料　　358
第23章 博弈树与棋类游戏　　359
23.1 棋类游戏的AI　　359
23.1.1 博弈与博弈树　　360
23.1.2 极大极小值搜索算法　　361
23.1.3 负极大极搜索算法　　 362
23.1.4 “α-β”剪枝算法　　 363
23.1.5 估值函数　　 365
23.1.6 置换表与哈希函数　　 366
23.1.7 开局库与终局库　　 368
23.2 井字棋——最简单的博弈游戏　　 368
23.2.1 棋盘与棋子的数学模型　　 369
23.2.2 估值函数与估值算法　　 370
23.2.3 如何产生走法（落子方法）　　 371
23.3 奥赛罗棋（黑白棋） 　　 373
23.3.1 棋盘与棋子的数学模型　　 374
23.3.2 估值函数与估值算法　　 377
23.3.3 搜索算法实现　　 380
23.3.4 最终结果　　 384
23.4 五子棋　　 385
23.4.1 棋盘与棋子的数学模型　　 386
23.4.2 估值函数与估值算法　　 388
23.4.3 搜索算法实现　　 391
23.4.4 最终结果　　 393
23.5 总结　　 393
23.6 参考资料　　 393
附录A 算法设计的常用技巧　　 395
A.1 数组下标处理　　 395
A.2 一重循环实现两重循环的功能　　 396
A.3 棋盘（迷宫）类算法方向遍历　　 396
A.4 代码的一致性处理技巧　　 397
A.5 链表和数组的配合使用　　 398
A.6 “以空间换时间”的常用技巧　　 399
A.7 利用表驱动避免长长的switch-case 　　 400
附录B 一个棋类游戏的设计框架　　 401
B.1 代码框架的整体结构　　 401
B.2 代码框架的使用方法　　 403